L'energia di attivazione $ E_ \ mathrm a $ dovrebbe, in generale, essere vista come una quantità empirica che caratterizza la sensibilità del tasso alla temperatura. Da questa prospettiva, può essere ottenuto mediante l'equazione

$$ E_ \ mathrm a = RT ^ 2 \ left (\ frac {\ mathrm d \ ln k } {\ mathrm dT} \ right) \ tag {1} $$

Questa relazione può essere "derivata" dall'equazione di Arrhenius. (Virgolette perché l'equazione di Arrhenius stessa è solo una relazione empirica.)

$$ \ begin {align} k & = A \ exp \ left (- \ frac {E_ \ mathrm a} {RT} \ right) \\\ ln k & = \ ln A - \ frac {E_ \ mathrm a} {RT} \\\ frac {\ mathrm d \ ln k} {\ mathrm dT} & = \ frac {E_ \ mathrm a} {RT ^ 2} \ end {align} $$

Se una velocità di reazione ha un comportamento di tipo Arrhenius, cioè $ k = A \ exp (-E_ \ mathrm a / RT) $ , quindi l'equazione $ (1) $ restituisce semplicemente la solita interpretazione dell'energia di attivazione. Tuttavia, l'equazione $ (1) $ è utile in quanto ci permette di definire una "energia di attivazione" nel caso in cui la costante di velocità non ha la forma matematica $ A \ exp (-E / RT) $ . Le reazioni parallele che hai descritto rientrano esattamente in questa categoria. La somma di due funzioni esponenziali generalmente non restituisce una funzione esponenziale, quindi la costante di velocità complessiva $ k = k_1 + k_2 $ non dovrebbe essere conforme a una descrizione di Arrhenius .

Se sostituiamo

$$ k = k_1 + k_2 = A_1 \ exp \ left (- \ frac {E_1} {RT } \ right) + A_2 \ exp \ left (- \ frac {E_2} {RT} \ right) $$

nell'equazione $ ( 1) $ , quindi otteniamo:

$$ \ begin {align} E_ \ mathrm a & = RT ^ 2 \ cdot \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dT} \ left \ {\ ln \ left [A_1 \ exp \ left (- \ frac {E_1} {RT} \ right) + A_2 \ exp \ left (- \ frac {E_2} {RT} \ right) \ right] \ right \} \\ [8pt] & = RT ^ 2 \ cdot \ frac {A_1 (E_1 / RT ^ 2) \ exp (-E_1 / RT) + A_2 (E_2 / RT ^ 2) \ exp (-E_2 / RT)} {A_1 \ exp (-E_1 / RT) + A_2 \ exp (-E_2 / RT)} \\ [8pt ] & = \ frac {A_1E_1 \ exp (-E_1 / RT) + A_2E_2 \ exp (-E_2 / RT)} {A_1 \ exp (-E_1 / RT) + A_2 \ exp (-E_2 / RT)} \\ [ 8pt] & = \ frac {E_1k_1 + E_2k_2} {k_1 + k_2} \ end {align} $$

come desiderato.

L'energia di attivazione effettiva che fornisci è la somma ponderata delle due singole a P e Q. La frazione di molecole che va a P è $ k_1 / (k_1 + k_2) $ e quindi $ k_2 / (k_1 + k_2) $ vai a Q. Quindi l'energia di attivazione effettiva è la somma di questi due valori frazionari, cioè $$ E_ {eff} = \ frac {k_1} {k_1 + k_2} E_1 + \ frac {k_2} {k_1 + k_2} E_2 $$ che è la tua equazione.

(Nota che la costante di velocità per il decadimento di A e il tempo di salita di P e Q è la stessa ed è $ k_1 + k_2 $; P e Q sono solo cineticamente distinti dalla frazione di A che finisce come P e Q non dalla velocità con cui vengono prodotti).